直接当ページへの来訪者は

   アルキメデスの原理:浮力の正体の一考察
         先ず、現実の理解を深めます
         水中にある硬い小容器中の水の重さ測ってみます

 では、いったい誰が小容器を支えているのでしょうか
▲ 実際には、筋肉マンではなく硬い容器で支えています

 次に、柔らかい容器に入った水で考えてみます
▲ 実際には、筋肉マンではなく
  硬い容器の場合は、硬い容器が支えていましたが、
  柔い容器の場合は、容器中の水で支えています

 水の重さによって、横向きのが発生する仕組み
(概念図)

■ 以下 cgs単位系 で話を進めます。

 水の重さによって、水圧が発生する仕組み
   (いよいよ水圧という言葉がでてきます)

▲ 圧縮応力(のしかかる重さと同じ)は、
  圧縮応力 F [g] 面積S [cm2]×水深H [cm]×水の密度ρ[g/cm3] となります。・・・・・・・・・・・(式1)

■ 水圧は水の圧縮応力が源です。
  水圧とは、かかる圧力の全部ではなく単位面積たとえばcm2 あたりにかかる圧力です。
  cm2 あたりにかかる水圧は、
  水圧P [g/cm2] = 圧縮応力F [g] / 単位面積[cm2]
  水圧P [g/cm2]面積S [cm2水深H [cm水の密度ρ[g/cm3] / 単位面積[cm2] となります。 ・・(式2)

■ 実際、液体でも圧力をかけると極々微量の体積変化をします。
  気体では分子間距離が大きいので容易に体積変化しますが、
  液体では分子間距離が小さいので分子間斥力が大きく働き、体積変化は極々微量にとどまります。

※ ここでは の単位を g で表していますが、一般には N で表します。
※ 実際には大気圧がかかりますが、ここでは触れないでおきます。

 水圧はあらゆる方向に作用します
▲ 水圧が四方八方に作用するのは パスカルの原理:流体の圧力の等方性 に因ります。

■ 水圧が四方八方に作用するのは『エネルギー等分配の法則』に因るということについて、
  名市大大学院 システム自然科学研究課 安田研究室 熱力学と統計力学1講義ノート
  エネルギー等分配則 the equipartition law of energy thst1-7.pdf 14ページに、
  液体にまで拡張した解説があります。

■ 水分子があらゆる方向に運動しているために起きること、と簡単にかたづけても良いでしょう。

■ ブラウン運動に因るというもっともらしい説もありますが、
  そもそもブラウン運動とは、花粉から漏れ出した微粒子が不規則に運動する現象に付けられた呼称であり、
  水分子そのものがブラウン運動するのではありません。
  Wikipedia の
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%83%B3%E9%81%8B%E5%8B%95
  ページ右上のシミュレーション動画において、微粒子が黄色球で、水分子が黒色球で表されていますが、
  質量も大きさも違うので、水分子と同じ運動はしません。(現在は、修正されています)

■ 水圧はあらゆる方向に作用する、ということは、
   
  特定の方向を持たないことと同じ、ということは、
   
  水圧は方向を持たないスカラー量と等価です。
 水圧による力は面に垂直に作用します
▲ 水中の面 S にかかる水圧によるパスカルの原理:作用面に垂直性 に因り
  面 S の法線(面に直角)の向きになります。

■ 図13 は もっともらしい説で、
  水圧はあらゆる方向に働くので、面 S はあらゆる方向から水圧がかかることになります。
  上側からの水圧 P1 と 下側からの水圧 P3 により、上下方向のは相殺されるので、
  結局合力は右方向を向くと言う説です。
  しかしながらこの説では、水圧 P2 による F2 に、
  水圧 P1 と水圧 P3 による力の水平成分 F1F3 が加算されてしまうことになり、これは不合理です。
  水圧 P2 によるF2 だけで充分です。

■ 図14 は 面 S の表面に沿う力(せん断力)Fy を起こしてしまうので、静止流体中では不合理です。
  面に斜めのがかかると、せん断力により円盤は移動または回転してしまいます。
  密度 ρ=1 の円盤ならば静止するはずです。

■ 結局 図15 のように 面 S にかかる水圧による F は、面 S の法線(面に直角)の向きになります。

■ 静止流体中では接線応力は働かないという理論は
  同志社大 エネルギー機械工学課 水島研究室 の
  http://www1.doshisha.ac.jp/~jmizushi/index2.html の、
  流れ学・流体力学サブメニュー で開くページで、
  流れ学 >ダウンロード 流れ学 I で開く NagareI.pdfファイル の 8ページ以降に詳しい解説があります。

    水圧だけではになりません
      水圧が面に働くと はじめて方向を持ったになります

▲ が発生する理由として、
 『面で水分子が跳ね返る際に、運動量変化に等しい力積 Ft = 2mv を面にかける』という説がありますが、
  これは気体ではよく知られたことですが、液体にもあてはまるのでしょうか?
  水深によって水圧によるが増えるのは、
  水分子の質量 m が増えた結果なのか?
  水分子の速度 v が速くなった結果なのか?
  水分子の数が増えた結果なのか?
  衝突の回数が増えた結果なのか?
  釈然としません。

 ビニール袋の呪縛から開放します
  ここまでのまとめ。
 水圧は圧縮応力が源。
 水圧はあらゆる方向に作用し、方向を持たないスカラー量と等価です。
 水圧が面に働くと、はじめて方向を持ったになります。
 水圧によるは面に垂直に作用します。

 いよいよ浮力の説明に入ります
▲ 上面積S [cm2] 高さH [cm] の立方体に働く浮力を計算してみます。
  ここまでは、大気圧は無視して来ましたが、ここでは気圧も含めて考えることにします。

 〔1〕先ず、水圧 P1 と P2 を算出します。
    水圧 P1 [g/cm2] = 水深 D [cm]            × 水の密度ρw [g/cm3] + 気圧 Pa [g/cm2]
    水圧 P2 [g/cm2] = (水深 D [cm] + 物体の高さ H [cm]) × 水の密度ρw [g/cm3] + 気圧 Pa [g/cm2]

 〔2〕物体の上面と下面に働くを算出します。
    物体の上面に働く力 F1 [g] = 水圧 P1 [g/cm2] × 面積 S [cm2]
    物体の下面に働く力 F2 [g] = 水圧 P2 [g/cm2] × 面積 S [cm2]

 〔3〕物体の上面と下面に働くの差を算出します。これが浮力となります。
    F2F1 [g] = 面積 S [cm2] × 物体の高さ H [cm] × 水の密度ρw [g/cm3] ・・・・・・・・(式4)
    式4から次のことが導かれます
    浮力は物体の水中の体積の水の重さに等しい
    浮力は物体の密度に依存しない
    浮力は水深に依存しない
    浮力は気圧に依存しない

 〔※〕立方体の側面にかかる水圧によるは、お互いに大きさが等しく逆向きなので相殺されて 0 になり、
    立方体は水平方向へは移動しません。

■ 物体の重さ W [g] = 面積 S [cm2] × 物体の高さ H [cm] × 物体の密度ρ [g/cm3] よりも
  浮力が大きい場合は、物体は浮き
  浮力と等しい場合は、物体は静止し
  浮力が小さい場合は、物体は沈みます。

 任意形状の物体に働く浮力   
▲ 水中に没しているレモンについて考えてみます。
  図21 のレモンを
  図22 で、レモンと同じ形状をした水の塊に置換えます。
  この水の塊は水中で浮きもせず沈みもせずに静止しますから、水の塊の重さ=浮力です。
  このことから 浮力は物体の体積で決まり 形状に依存しない ということになります。

■ よって、浮力は次のようになります。
  浮力F [g]水の密度ρw [g/cm3] × 物体の水中の体積V [cm3]

■ 浮力を表す誘導式 FρV は、原理式で表される多くの重要な要素が欠落しています。原理を理解しましょう。
  上式を鵜呑みにすると 水中にある物体には何が何でも浮力が働くという説 に陥り易くなってしまいます。

 任意形状の物体に働く浮力を計算で求めるには
  ここまでのまとめ。
 浮力は物体の水中の体積の水の重さに等しい
 浮力は物体の密度に依存しない
 浮力は水深に依存しない
 浮力は気圧に依存しない
 浮力は物体の形状に依存しない。

 水底にある物体に浮力は働くか?  
硬い容器の場合

▲ 図24[a] において、小容器の下面には水圧がかからないので上向きのは発生しません。
  よって、浮力は発生しません。
  ニュートン先生の運動の第二法則
 『物体の運動の時間的変化は、の大きさに比例し、の方向に作用する』を信じましょう。

■ 現実では 図24[a] において、どうしても隙間に水が浸み込んでしまうので、浮力が働いてしまいます。

■ 洗面器を逆さまに風呂の底に押し付けると、しばらくは浮き上がらなくなりますが、
  これは吸盤効果によるものです。

▲ 図25 で、両手を離すと材木は落下します。
  もし 水中にある物体には何が何でも浮力が働くという説 に従えば、材木は浮き上がります。
  すると 図26 の永久機関ができてしまうので、この説は不合理です。
  浮力を利用した永久機関は The Museum of Unworkable Devices にたくさん有ります。

 水底にある物体に浮力は働くか?  
実 験

▲ パッキン無しで実験すると、すぐに水が入り込んでしまって失敗。
  パッキンを付けても、すぐに水が入り込んでしまって失敗。
  グリスを塗ると旨い具合に底に沈んだままになりますが、グリスの粘着力が問題。
  グリスの粘着力が木製円柱の浮力より圧倒的に小さいことの証明に工夫。

■ 吸盤効果とか分子間引力で底に張り付いているのではありません。

■『水底にある物体に浮力は働かない』という論者
  わかりやすい高校物理の部屋 3-2-2-4 浮力    :ろっとん氏。ページ最下段で簡潔明瞭に解説されています。
  物理学入門 板倉聖宣氏著            :Google ブック検索で開く 88ページの【問題4】部分。
  例会速報 2000/03/08 県立柏陽高校       :ページ中段の『浮力とは何か 高杉さんの発表』部分の
                          中空発泡スチロールの半球 ではなく、
                          発泡スチロールの円錐や円柱 の写真。
                          但し、追試で失敗。再現できず。
  YPC ニュース No.145 横浜物理サークル     :ページ中段 (上と同じ内容)
  熱流体トレーニング(1)             :東京海洋大学 ターボ動力研究室 刑部真弘 工学博士 最近の研究発表。
  よせなべ物理実験集 パラフィン浮上せず     :たまきち(さん)の物理 HomePage。聖光学院 教師。

                          視野を拡げて土木技術に目を向けると、地震発生時でない平常時は、
                          
                          ということです。

  土木設計マニュアル(橋梁編)         :福島県 土木部 bridge220401-3.pdf の 403ページ 2-5 ハ) に
                          水底に建てた橋脚にかかる浮力は、
                         “基礎地盤の鉛直反力の計算には無視してもよい”とあります。
  静岡市道路橋計画・設計要綱          :000086131.pdf ファイルの 64ページの 4)浮力または揚圧力 に、
                         “状態によっては浮力が作用することも予測される・・・”
                          → 平常時は浮力は作用しない。

■『水底にある物体に浮力は働く』という論者
  水の底にピタリと着床すれば浮力はなくなるの? :furyoku.pdf ファイル 東大寺学園
                          浮力が無くなる実験をトリックと酷評しています。
                          浮力が働くと自信満々に断言しています。
  浮力の説明の謎                 :某国立大 物理学科 教員
                         “教育現場で誤った説明をしないように注意”と言っています。
                          浮力が働くと問答無用で断言しています。
  水の底に沈んだ物体に浮力ははたらくか?    :中学受験をサポートしているつもりですが...2)水底の場合
                         “物体の重力と上記の浮力の2つがはたらく” と解説しています。
                          水底の抗力も浮力の一部と見做しています。
                          小学校児童レベル。
  合格自在・復習自在活用法 6年 6回       :中学受験専門塾 学明舎
                          pdf ファイルの(理科)浮力 の項。
                          小学校児童レベル。
  受験生諸君のための楽しい物理学入門講座     :元 東大名誉教授 地球物理学 理学博士 福島直 氏
                          アルキメデスの原理とか水圧がどうのこうのではなく、
                          浮力を、自然は放置すると Eos から Chaos へ向かうという
                          エントロピー論で解説されています。
                         (う〜ん、難しい。正論なんだけど着低物体に適用は?)
                         :いずれも抽象的概念による解説にとどまり、
                          着底物体に働く浮力 F を数学的に導出したサイトは見当たりません。

■ 着底した潜水艦の浮上問題は、
  着底物体離床問題についての一つの考え方    :fuji氏の 目次 [15.参考:工学的な話題] の 15.4 以降に
                          明快・的確な解説があります。
  潜水艦の着底・離底              :Yahoo!知恵袋
                          軍事専門のふくろうさんの実戦に即した解説があります。

■「水底にある物体に働く浮力」を求めるペーパーテストにおいて、
  出題者は以上のことを良くご理解されていない方が少なくありませんので、完璧な回答を期すためには、
   (1)物体が水底に強く接している(物体の底面に水が入り込まない)状態の回答
   (2)物体が水底に弱く接している(物体の底面に水が入り込む  )状態の回答
  を併記するのが宜しいでしょう。

  水底にある物体に浮力は働くか? 
    柔らかい容器(柔らかい物体)の場合

▲ 油を入れたビニール袋を底に置いてから、大容器に水を満たすと上図のようになります。
  ビニール袋に作用する水圧によるは圧倒的に上面からのもので、下から上向きに働くは僅かですので、
  今までの考え方では、ビニール袋は浮き上がりません。

■ ところが、水圧は柔らかいビニール袋を通り過ぎて内部の油に伝わります。
  この結果、内部の油に不平衡な圧力勾配が生じます。
  油の各部が静止する平衡圧力勾配よりも、水の各部が静止する平衡圧力勾配のほうが、傾斜がきつくなります。

■ 内部の油の直方体の上面に働くP1 により、下面に働くP2 によります。
  直方体の各辺を 1 [cm] とすると、直方体へ働く浮力は
  F2F1 [g]面積S [cm2] × 物体の高さH [cm] × 水の密度ρwater [g/cm3] から
  浮力 = 1 [g] となります。

  一方、油の重さは 体積 1[cm3] × 油の密度 ρoil [g/cm3] = ρoil [g] となります。
  浮力 = 1 [g] > ρoil [g] ですので、直方体は浮き上がります。

■ 即ち、容器(ビニール袋)が持ち上げられるのではなく、油そのものの浮力で浮き上がることになります。

■ 柔らかい物体内部の圧力勾配を電子計算機でシミュレーションしたグラフを、
  IHI 石川島播磨重工業 Top > 技術紹介 > IHI技報 > 第48巻 第4号(平成20年9月発行)-創刊70周年記念号- の、
  5.コラム 『お豆腐の話』技術開発本部 小野塚氏 4c873517e9fd9398fdf6ce1f161f8da0.pdf から援用します。
  
  豆腐内部の不平衡圧力勾配により、豆腐自身に浮力が発生します。

■ ということで、柔らかい容器(柔らかい物体)の場合は下からの力が働かなくても浮き上がります。

■ これに反して前述したように、硬い容器では内部が液体であっても
  内部の液体に不平衡な圧力勾配が生じないので、内部の液体自身の浮力は発生しません。
  硬い容器と柔らかい容器(柔らかい物体)を区別して考えることが必要です。

  ここまでのまとめ。
 硬い物体では、  水圧は物体の表面にかかる。
 柔らかい物体では、水圧は物体の内部(物体自身)にかかる。
 ニュートン先生の運動の第二法則
 『物体の運動の時間的変化は、の大きさに比例し、の方向に作用する』を信じましょう。
  が働かなければ物体は動きません。

      離底問題.水底にある物体の重さを測る
▲ 水底に置かれた 4Kg 1000cm3 の金属塊を吊秤で徐々に持ち上げたときのようすを考えてみます。
  金属塊の上には 1Kg の水が乗っています。

■ 図28_1 は、水底に強く着底した場合です。
  金属塊の下面に水が入り込めるのは、吊秤が金属塊の重さ 4Kg1μg でも上回るで引っ張り上げた瞬間です。
  理屈ではこうなりますが、実際はどうしても水が入り込んでしまうので秤量が 4Kg になることは無いでしょう。

■ 図28_2 は、水底に弱く着底した場合です。
  金属塊の下面に水が入り込める瞬間を下図に記します。この場合は 3Kg になります。

■ よって、金属塊の着底の強さにしたがって、秤量が 3Kg4Kg の間のどこかで離底します。
  グラフの [d][e] の区間です。但し、粘着力とか分子間引力などは無いものとします。

■ このことから、水底にある物体の重さ(離底する瞬間の重さ)を吊秤で測ると、
  着低の強度により 3Kg4Kg 間のいずれかの重さであると測定されることになります。
  着底した物体の重さを吊秤で正確に測定することは原理的に不可能です。

■ 水底にある物体の離底問題は、
  摩擦面に置かれた物体に力を加えた際に、力が最大静止摩擦力に勝って物体が動き出す有り様と似ています。
  物体が動き出してしまえば、後は動摩擦力以上の力で動かせます。
  わかりやすい高校物理の部屋 3-2-2-2 摩擦力 ページ中段のグラフの一部を援用します。
 
  グラフに降伏による不連続点・特異点があっても、何にも問題ありません。

▲ 金属塊が離底前は、金属塊と容器の底の僅かな隙間を押し拡げて水が入り込もうとします。
  ところが、金属塊とその上の水の重さによって、隙間が拡げられないように抵抗します。
  では、どれだけの力があれば隙間を押し拡げて水が入り込めるか考えてみましょう。

■ 右の 図30 において、金属塊が僅かだけ離底した状態では、
  隙間に入り込もうとする水の力は、すでに隙間に入り込んだ水による斥力と平衡しています。
  この平衡状態はまさしく、金属塊が底から離れて浮力の働きを受けている状態です。
  平衡状態より僅かでも隙間を押さえつける力が劣れば、隙間を押し拡げて水が入り込むことになります。

■ したがって 図28 において、吊秤が 3Kg (浮力の働きを受けている状態と同じ)を 1μg でも上回れば
  水は隙間を押し拡げて隙間に入り込みます。
  よって、物体が弱く着底している場合は、浮力が働かなくても吊秤の読みは 4Kg には到達しません。


▲ 容器の壁面・底面にかかる水圧によるの算出は、
  木下(氏)のホームページ > 自宅学習用教材・資料 の 熱流体力学 > 熱流体力学講義(PDFファイル)第3章 で開く
  neturyuutai(3shou)-2.pdf の -63- ページ以降に解説されています。この一部を援用します。
  
  深い洞察力で流体を解説しているサイトです。的確明快で役に立つ教材・資料がたくさんあります。
 (早朝深夜はBGMの音量に注意)

           浮力 雑感
▲ 図[a] において、
      甲には大気圧による下向きの力が働き、掌には大気圧による上向きの力が働きます。
      手が のように、ぺしゃんこにならないのは体内圧があるからです。

  図[b] のようにツルツルの机に掌を合わせた場合に、“水底にある物体にも浮力は働く”という論者にしてみると、
      もし浮力が消滅すると、
      論点1:甲にかかる大気圧による下向きの力だけになって、掌を机から離すことができなくなってしまう。
      論点2:掌を机から引き離すための必要な力は、
          上向きの力が一切働かないので、
          手自体の重さに、手の甲に乗っている空気の重さを(水中の場合は水の重さも)加えた重さに等しくなる。
      と本気で心配されているようです。

  論点1:は 図[c] のようになってしまうと言うことです。これは不合理です。
      実際は 図[d] の如く、大気圧による上向きの力の替りに、机の抗力が掌にかかっています。

  論点2:手の甲に乗っている空気は(水中の場合は水も)、手の甲による下からの力を受けなくても、
      自分自身で浮力を発生します。                 ← 図27 柔らかい容器を参照願います
      引き離す力は最大でも浮力を受けないときの手の重さになります。 ← 図28 離底問題を参照願います

■ ということで、机に張り付いた掌は浮力が働かなくても容易に引き離すことができます。
  水底に張り付いた足も同じです。

■ 風呂のゴム栓を水抜き穴に差込んだ状態が 図[c] に似て、底にぴったり置いた状態が 図[d] です。
  ゴム栓を底にぴったり置いて上向きの浮力が無くなっても、容易に引っ張り上げることができます。

▲ 先ず、は物体に働いてその物体の速度・方向を変えます。(以下 MKS単位系で話を進めます)
  図37 のように、空気抵抗も無く摩擦抵抗も無い環境で
  質量[Kg] の物体を[S] 間に速度を[M/S] だけ加速(減速)するN (ニュートン)と決められています。
  の一般式は次式になります。
 
■ 図38 において、地球上の物体には重力が働いています。
  重さもです。
  質量 1[Kg] の物体には、海抜0メートル地点で 9.8[KgM/S2] のが働いて、物体を落下させようとします。
  掌でこの物体を支えようとすると、重さと同じ大きさの(逆向き)が必要です。
  掌にかかるこのが重さです。この場合 9.8N(ニュートン)となります。

■ 台秤の目盛は、質量 1[Kg] の物体が乗った時に 1[Kg] と振ってあります。
  質量と区別するために秤の読みは、正確には [Kg重] と言います。
  1[Kg] の物体に重力が作用すると1[Kg重] になります。
  1[Kg重] = 9.8[KgM/S2] = 9.8N(ニュートン) です。
  先ほどの、掌にかかる重さは正確には 1[Kg] とは言わずに 1[Kg重] と言います。

■ 海抜が上がるとか緯度が変わると重力が変化するので、重さ(体重)も変わります。

■ 重力も水圧と同じように“場”の状態を表す物理量であるので、重力だけではになりません。
  重力が物体の質量に働いて、はじめて(重さ)になります。

▲(式5)より
  力   = 50[Kg] × ( 3[M/S] − 1[M/S] ) / 0.5[S] = 200[KgM/S2] = 200N (ニュートン)
  加速度α = ( 3[M/S] − 1[M/S] ) / 0.5[S] = 4[M/S2]

  注意:左脚のは、
     重力に抗する垂直方向の 体重 50[Kg重] × 加速度 ではなく、
     水平方向にかける    質量 50[Kg]  × 加速度 です。

■ 右脚にエレーネさんの全質量 50[Kg] がかかるとすると、
  支える50[Kg重] = 490[KgM/S2] = 490N (ニュートン) となります。
 (踏ん張る力は除いて重さだけとする)

■ エレーネ・ゲデバニシビリ さんのサイト → http://www.gedevanishvili.ru/english/
  本名は呼びにくいので、スケート競技会では愛称の“ジョージア”さんとアナウンスされます。
  エレーネさんの体重 50Kg は彼女の名誉のために訂正します。もっと少ないそうです。

        ディメンションについて
       お疲れ様でした おしまい
■ イラストは、商用利用OK、加工編集OK、連絡不要、リンク不要のフリー素材サイト
   Kingyomon Degital Studio (運営者:ヒロシ)様 より拝借しました。星の数ほどある素材サイトの中で秀逸です。感謝。




 

KeyWord :Principle, Archimedes, Buoyancy, Water Bottom, 圧縮応力, 分子間斥力, 圧力勾配, 無限運動,
     任意形状, 水分子の振動の自由度, 水分子の回転の自由度, 流体中にある物体、流体中に突き出た物体,
     離底問題, 着低問題, 着床問題, 離床問題, わかりやすい浮力の説明, 物理, 図解,
     浮力のしくみ, 浮力のメカニズム, 浮力の原理, 水深に比例しない, 分子運動,
     底面の地盤が粘性土や亀裂の少ない岩盤などの不透水位層の場合でも、
     経年的な水の浸透などにより浮力が作用する場合がある。







Update 5 Sept. 2012
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